Combinação com Elementos Repetidos
Combinação com Elementos Repetidos
No estudo da Matemática, especialmente na parte de Análise Combinatória, aprendemos a contar possibilidades de organização ou agrupamento de elementos. Um desses casos é a combinação com elementos repetidos, também chamada de combinação com repetição.
Essa ideia é muito útil quando queremos formar grupos onde os elementos podem se repetir, como por exemplo: formar senhas com letras repetidas, montar arranjos de flores usando cores repetidas, ou escolher doces de uma caixa em que há sabores iguais.
O que é Combinação com Repetição?
A combinação com repetição acontece quando podemos escolher os mesmos elementos mais de uma vez, e a ordem das escolhas não importa. Ou seja, queremos formar grupos com elementos que podem se repetir, mas sem nos preocupar com a ordem deles.
Exemplo simples: Quantas maneiras podemos escolher 3 frutas entre maçã, banana e uva, se podemos repetir as frutas? (Ex: {maçã, maçã, uva} é uma escolha válida.)
Fórmula da Combinação com Repetição
A fórmula usada para calcular combinações com repetição é:
Crn = Cn + r – 1r = (n + r – 1)! / [r! × (n – 1)!]
- n = número de elementos diferentes disponíveis;
- r = número de elementos que queremos escolher;
- ! = fatorial (produto dos números naturais até o valor indicado).
Importante: A ordem das escolhas não importa, e os elementos podem se repetir.
Exemplo Resolvido
Problema: De quantas maneiras podemos formar um grupo de 4 bolas, escolhidas entre 3 cores diferentes (vermelha, azul e verde), sabendo que podemos repetir as cores?
Nesse caso, temos:
- n = 3 (três cores diferentes)
- r = 4 (vamos escolher 4 bolas)
Aplicando a fórmula:
C43 = C3 + 4 – 14 = C64 = 6! / (4! × 2!)
= (720) / (24 × 2) = 720 / 48 = 15
Resposta: Existem 15 maneiras diferentes de formar esse grupo de bolas com repetição de cores.
Diferença entre Combinação Simples e com Repetição
É comum confundir combinação simples com a combinação com repetição. Veja a diferença:
- Combinação simples: não pode repetir elementos e a ordem não importa.
- Combinação com repetição: pode repetir elementos e a ordem também não importa.
Exemplo de comparação:
Se temos as letras A, B e C e queremos formar grupos de 2 letras:
Combinação simples: {A, B}, {A, C}, {B, C} → Total: 3 grupos
Combinação com repetição: {A, A}, {A, B}, {A, C}, {B, B}, {B, C}, {C, C} → Total: 6 grupos
Aplicações no Cotidiano
Combinação com repetição aparece em várias situações do dia a dia, como:
- Formação de senhas onde letras ou números podem se repetir;
- Combinação de sabores em sorveterias, onde um sabor pode ser escolhido mais de uma vez;
- Montagem de kits promocionais com itens repetidos;
- Problemas de probabilidade com reposição de elementos.
Curiosidades
- A combinação com repetição é usada em criptografia e segurança digital;
- Na matemática avançada, ela aparece no estudo de coeficientes multinomiais;
- É muito usada em programação de algoritmos combinatórios e jogos matemáticos.
Dica para o ENEM
O ENEM costuma abordar a ideia de combinação com repetição de forma contextualizada. Em geral, os problemas envolvem situações práticas (como montagem de pratos, kits, senhas etc.). Fique atento ao enunciado: se os elementos podem se repetir e a ordem não importa, é esse tipo de combinação que você deve usar!
Resumo
A combinação com elementos repetidos é uma maneira de formar grupos quando podemos repetir os elementos e não nos importamos com a ordem. Usamos a fórmula:
Crn = (n + r – 1)! / [r! × (n – 1)!]
Ela é útil em problemas envolvendo escolhas com repetição, como senhas, sabores e kits. Saber identificar esse tipo de situação é essencial para resolver questões de combinatória no ENEM.
