Função Quadrática ou 2º Grau
Função Quadrática (Função do 2º Grau)
A função quadrática, também chamada de função do 2º grau, é uma função matemática muito importante no estudo do Ensino Médio. Ela tem a forma geral:
f(x) = ax² + bx + c
onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0. Essa função é chamada de quadrática porque o maior expoente da variável x é 2.
Gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola. Essa parábola pode estar voltada para cima ou para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a:
- Se a > 0, a parábola é côncava para cima (forma de “U”);
- Se a < 0, a parábola é côncava para baixo (forma de “∩”).
Elementos importantes da parábola
- Vértice: é o ponto máximo ou mínimo da parábola, dependendo do sinal de a. É dado pelas coordenadas:
x_v = -b/(2a)
y_v = f(x_v) = -Δ/(4a)
- onde Δ (delta) é o discriminante, que vamos explicar a seguir.
- Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por x = x_v.
- Raízes ou zeros da função: são os valores de x para os quais f(x) = 0. Eles indicam os pontos onde a parábola cruza o eixo x.
Discriminante (Δ)
Para encontrar as raízes da função quadrática, utilizamos a fórmula de Bhaskara, que depende do discriminante Δ:
Δ = b² – 4ac
O valor de Δ indica quantas raízes reais a função possui:
- Se Δ > 0, existem duas raízes reais e distintas;
- Se Δ = 0, existe uma única raiz real (raízes iguais);
- Se Δ < 0, não existem raízes reais, apenas raízes complexas (não aparecem no gráfico).
Fórmula de Bhaskara
As raízes da função são dadas por:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Essa fórmula permite calcular os valores de x onde a parábola intercepta o eixo x.
Forma fatorada e canônica
- Forma fatorada: expressa a função como o produto das raízes: f(x) = a(x – x₁)(x – x₂), onde x₁ e x₂ são as raízes;
- Forma canônica: usa o vértice para representar a função: f(x) = a(x – x_v)² + y_v.
Aplicações da função quadrática
A função do 2º grau é utilizada para modelar diversas situações reais, tais como:
- Trajetórias de projéteis;
- Problemas de otimização (máximos e mínimos);
- Economia e finanças (cálculo de lucros e prejuízos);
- Engenharia e física para modelar movimentos acelerados.
Dicas para o ENEM
- Entenda a forma geral e os elementos da função quadrática;
- Pratique o cálculo do discriminante e das raízes usando Bhaskara;
- Saiba interpretar gráficos de parábolas e identificar vértice, eixo de simetria e raízes;
- Relacione a função quadrática com situações cotidianas e problemas contextualizados;
- Resolva exercícios que envolvam cálculo e interpretação gráfica.
Resumo final
- Função quadrática tem a forma f(x) = ax² + bx + c com a ≠ 0;
- Seu gráfico é uma parábola que pode abrir para cima ou para baixo;
- O vértice é o ponto máximo ou mínimo da parábola, dado por x_v = -b/2a;
- O discriminante Δ indica o número de raízes reais;
- Bhaskara permite calcular as raízes da função;
- Função do 2º grau está presente em diversas situações do dia a dia e no ENEM.
Compreender a função quadrática é fundamental para desenvolver o raciocínio lógico e resolver problemas matemáticos do Ensino Médio e do ENEM.
