Gráfico da Função Tangente

A função tangente é uma das principais funções trigonométricas e aparece com frequência no ENEM e em vestibulares. Seu gráfico apresenta características únicas, como repetição em intervalos regulares e assíntotas verticais. Neste resumo, vamos entender como é o gráfico dessa função e como interpretá-lo com facilidade.

Definição da função tangente

A função tangente é definida como:

tan(x) = sen(x) / cos(x)

Isso significa que a tangente é o quociente entre o seno e o cosseno de um ângulo x. Mas atenção: a tangente não está definida quando o cosseno é igual a zero, pois não se pode dividir por zero.

Domínio da função tangente

O domínio da função tangente são todos os valores reais, exceto aqueles para os quais o cosseno é zero. Isso acontece em:

x = π/2 + kπ, onde k é um número inteiro.

Nesses pontos, a função tangente tem assíntotas verticais (linhas onde o gráfico “explode” e não existe valor definido).

Período da função tangente

Diferente do seno e do cosseno, cujo período é 2π, a função tangente tem período igual a π. Isso significa que o gráfico da tangente se repete a cada π radianos (ou 180°).

Gráfico da função tangente

Vamos analisar o comportamento da tangente no intervalo de -π/2 a π/2, que é onde ela tem um de seus ciclos completos:

Em x = 0, tan(x) = 0 → o gráfico cruza o eixo x.
À medida que x se aproxima de π/2 pela esquerda, tan(x) cresce muito e tende ao infinito.
À medida que x se aproxima de -π/2 pela direita, tan(x) tende ao -infinito.
Em x = ±π/2, a função não está definida. Nesses pontos há assíntotas verticais.

O gráfico da tangente tem a forma de uma curva que sobe rapidamente da esquerda para a direita, cruzando o ponto (0,0) e se repetindo a cada π unidades.

Características do gráfico da função tangente

Domínio: ℝ \ {x | x = π/2 + kπ}
Imagem: Todos os números reais (ℝ)
Período: π
Ponto de origem: Passa pela origem (0,0)
Assíntotas verticais: Em x = ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, etc.

Transformações na função tangente

A função tangente pode sofrer transformações que afetam seu gráfico:

f(x) = a·tan(bx + c) + d

a: Afeta a “inclinação” da curva (altera a amplitude, embora a tangente não tenha valor máximo/minímo definido).
b: Altera o período da função, que passa a ser π / |b|.
c: Desloca o gráfico horizontalmente (para a esquerda ou direita).
d: Desloca o gráfico verticalmente (para cima ou para baixo).

Exemplo prático

Vamos analisar o gráfico de f(x) = tan(x) no intervalo de -2π a 2π:

Há assíntotas verticais em: -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2.
O gráfico cruza o eixo x em: -2π, -π, 0, π, 2π.
Entre cada par de assíntotas, a curva da tangente cresce rapidamente da esquerda para a direita.

Como interpretar no ENEM

No ENEM, o gráfico da função tangente pode aparecer em questões de:

Análise de gráficos e funções periódicas;
Transformações de funções trigonométricas;
Problemas que envolvem comportamento cíclico ou repetitivo;
Aplicações em fenômenos físicos, como movimento circular e ondas.

Dicas para não errar

Não esqueça das assíntotas verticais em x = π/2 + kπ.
Lembre que a tangente se repete a cada π.
A função não tem valor máximo nem mínimo: ela cresce até o infinito.
Use o ciclo principal (-π/2 a π/2) para entender o comportamento do gráfico.

Conclusão

O gráfico da função tangente é formado por curvas que crescem rapidamente e se repetem a cada π unidades, com assíntotas verticais onde o cosseno é zero. Compreender esse comportamento é essencial para resolver questões de função trigonométrica no ENEM. Praticar o desenho do gráfico e identificar seus elementos principais vai te ajudar a ganhar tempo e acertar questões com mais segurança!