MDC e MMC

MDC e MMC – Matemática para o ENEM

O MDC (Máximo Divisor Comum) e o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) são dois assuntos clássicos da Matemática e muito úteis para resolver problemas do dia a dia. Eles aparecem bastante em questões do ENEM que envolvem divisões, múltiplos, frações e organização de eventos com tempos diferentes.

O que é o MDC?

O MDC – Máximo Divisor Comum é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto.

Exemplo:
Vamos descobrir o MDC entre 12 e 18.
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores comuns: 1, 2, 3, 6
Logo, o MDC(12, 18) = 6

Para que serve o MDC?

Simplificar frações
Dividir algo em partes iguais
Resolver problemas de compartilhamento ou agrupamento

O que é o MMC?

O MMC – Mínimo Múltiplo Comum é o menor número que é múltiplo comum de dois ou mais números.

Exemplo:
Vamos descobrir o MMC entre 4 e 6.
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30…
Múltiplos comuns: 12, 24…
Logo, o MMC(4, 6) = 12

Para que serve o MMC?

Resolver problemas com repetições de eventos
Calcular o tempo para eventos acontecerem ao mesmo tempo
Somar ou subtrair frações de denominadores diferentes

Como calcular o MDC e MMC?

1. Fatoração em números primos

Exemplo: Vamos encontrar o MDC e o MMC de 20 e 30

20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5

MDC: Pegamos os fatores comuns com os menores expoentes:
Fator comum: 2¹ × 5¹ = 10

MMC: Pegamos todos os fatores (comuns e não comuns), com os maiores expoentes:
2² × 3¹ × 5¹ = 60

Resultado: MDC(20, 30) = 10 e MMC(20, 30) = 60

2. Método das divisões sucessivas (apenas para MDC)

Passo a passo:
a) Divida o maior número pelo menor
b) Depois divida o divisor pelo resto
c) Continue até o resto ser zero
O último divisor será o MDC

Exemplo: MDC(36, 24)
36 ÷ 24 = 1 (resto 12)
24 ÷ 12 = 2 (resto 0)
Logo, MDC = 12

Diferença entre MDC e MMC

A confusão entre os dois é comum. Para não esquecer mais, pense assim:

MDC – Máximo Divisor Comum → dividir, reduzir, simplificar
MMC – Mínimo Múltiplo Comum → repetir, acontecer ao mesmo tempo

Aplicações práticas

1. Problema de divisão
Queremos dividir 24 e 36 balas em pacotes com o maior número possível de balas, sem sobras. Quantas balas por pacote?
→ Use o MDC(24, 36) = 12 → resposta: 12 balas por pacote

2. Problema com tempo
Duas máquinas fazem manutenção a cada 6 e 8 dias. Em quantos dias as duas farão manutenção juntas?
→ Use o MMC(6, 8) = 24 → resposta: 24 dias

Resumo final:

MDC: maior número que divide dois ou mais números
MMC: menor número que é múltiplo comum de dois ou mais números
Use a fatoração para calcular os dois
Fique atento à interpretação: o enunciado da questão é que vai indicar se é caso de MMC ou MDC

Dica para o ENEM:

No ENEM, os problemas de MDC e MMC aparecem disfarçados em situações do cotidiano. Leia com atenção e tente identificar se a situação exige divisão em partes iguais (MDC) ou sincronização de eventos (MMC). Não decore fórmulas: entenda os conceitos!

Com bastante prática, você vai dominar esse tema e resolver as questões com muito mais facilidade. Boa sorte nos estudos!