Permutação Circular

Permutação Circular

A permutação circular é um conceito da Análise Combinatória que trata do número de maneiras de organizar elementos em um círculo, onde a ordem importa, mas a posição relativa é o que conta. Diferente da permutação simples, na permutação circular não consideramos rotações como arranjos diferentes.

O que é permutação circular?

Na permutação circular, os elementos são dispostos em torno de um círculo, e as rotações dessa disposição são consideradas iguais. Ou seja, se girarmos todos os elementos da mesma forma, a configuração não muda. Por exemplo, sentar 4 pessoas ao redor de uma mesa redonda tem menos possibilidades do que sentá-las em uma fila, porque as rotações não criam novas ordens.

Fórmula da permutação circular

Se temos n elementos distintos a serem organizados em círculo, o número de permutações circulares possíveis é dado por:

P_c = (n – 1)!

Isso acontece porque, ao fixar um elemento para eliminar a equivalência das rotações, permutamos os demais elementos em torno dele.

Exemplo prático

Imagine que temos 4 amigos que querem sentar ao redor de uma mesa redonda. Quantas maneiras diferentes eles podem se sentar?

Aplicando a fórmula:

P_c = (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6

Ou seja, existem 6 maneiras diferentes de sentar esses 4 amigos na mesa, considerando que rotações são iguais.

Diferença entre permutação simples e permutação circular

• Permutação simples: organiza os elementos em fila, ordem e posição importam, e cada ordem diferente conta. Fórmula: n!
• Permutação circular: organiza os elementos em círculo, considerando rotações iguais. Fórmula: (n-1)!

Permutação circular com elementos repetidos

Quando há elementos repetidos, a fórmula é adaptada para não contar arranjos iguais várias vezes. A fórmula fica:

P_c = (n – 1)! / (p! × q! × …)

Onde:

• n é o total de elementos;
• p!, q!, etc., são os fatoriais das quantidades de elementos repetidos.

Exemplo: Em uma mesa redonda, temos 5 pessoas, sendo 2 gêmeas idênticas. O número de permutações diferentes será:

P_c = (5 – 1)! / 2! = 4! / 2 = (24) / 2 = 12

Aplicações da permutação circular

• Organização de pessoas em mesas redondas em eventos;
• Disposição de objetos circulares, como joias ou quadros;
• Problemas de programação e lógica que envolvem ciclos e rotas;
• Estudo de simetrias em matemática e física.

Dicas para resolver problemas de permutação circular

• Identifique se a disposição é em círculo ou em linha;
• Considere se há elementos repetidos;
• Use a fórmula correta para o caso;
• Se for necessário, fixe um elemento para evitar contar rotações como diferentes;
• Pratique com exemplos para entender o conceito.

Resumo das fórmulas

Conclusão

A permutação circular é um conceito importante para resolver problemas que envolvem a organização de elementos em círculo, um tipo comum em situações do cotidiano e em questões do ENEM. Entender essa diferença e aplicar a fórmula correta ajuda a resolver esses desafios com facilidade.