Permutação Simples

Permutação Simples

A permutação simples é um conceito da Análise Combinatória que estuda o número de maneiras de organizar um conjunto de elementos distintos, considerando a ordem dessas organizações. Em outras palavras, a permutação simples responde à pergunta: de quantas formas podemos ordenar todos os elementos de um conjunto, sem repetir nenhum e levando em conta que a posição importa?

O que é permutação?

Permutação é o arranjo dos elementos de um conjunto em sequências diferentes. Cada sequência possível é chamada de permutação. Por exemplo, se temos três letras: A, B e C, as permutações possíveis são:

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

Note que a ordem importa, pois “ABC” é diferente de “BAC”.

Fatorial: o cálculo da permutação simples

O número total de permutações simples de um conjunto com n elementos é dado pelo fatorial de n, representado por n!. O fatorial de um número é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a ele.

Matematicamente:

P_n = n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1

Por exemplo, para 4 elementos, temos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Ou seja, é possível organizar 4 elementos de 24 formas diferentes.

Permutação com elementos repetidos

Quando o conjunto possui elementos repetidos, o cálculo da permutação muda, pois algumas sequências serão iguais. Para evitar contar essas repetições, a fórmula é ajustada dividindo o fatorial total pelo produto dos fatoriais das quantidades de elementos repetidos.

A fórmula é:

P = n! / (p! × q! × r! × …)

Onde:

• n! é o fatorial do total de elementos;
• p!, q!, r! são os fatoriais das quantidades de elementos repetidos.

Exemplo: A palavra “BANANA” possui 6 letras, sendo 3 letras “A” repetidas e 2 letras “N” repetidas. O número de permutações possíveis é:

P = 6! / (3! × 2!) = (720) / (6 × 2) = 720 / 12 = 60

Aplicações práticas da permutação simples

• Organização de senhas: Quantas senhas diferentes podem ser formadas com letras e números?
• Posicionamento em competições: De quantas formas os atletas podem ocupar os primeiros lugares em uma corrida?
• Combinações de horários ou tarefas: Planejamento onde a ordem de execução importa.

Diferença entre permutação, arranjo e combinação

É importante não confundir permutação com outros conceitos da Análise Combinatória:

• Permutação: organização de todos os elementos de um conjunto, ordem importa.
• Arranjo: seleção e organização de parte dos elementos, ordem importa.
• Combinação: seleção de parte dos elementos, ordem não importa.

Resumo das fórmulas

Conclusão

A permutação simples é uma ferramenta essencial para resolver problemas que envolvem a organização e ordenação de elementos, muito comum nas provas do ENEM e outras avaliações. Compreender o conceito de fatorial e como aplicar a fórmula, inclusive quando há elementos repetidos, é fundamental para a boa resolução desses problemas.