Progressão Aritmética
Progressão Aritmética (PA): Entenda o que é e como usar
A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e o seu anterior é sempre constante. Essa diferença constante é chamada de razão da PA.
1. Conceito básico
Uma PA pode ser representada assim:
a₁, a₂, a₃, …, aₙ
Onde cada termo (aₙ) é igual ao termo anterior mais a razão (r):
aₙ = aₙ₋₁ + r
Por exemplo, na sequência 3, 6, 9, 12, 15, a razão é 3, pois cada termo aumenta 3 em relação ao anterior.
2. Fórmula do n-ésimo termo
Para encontrar qualquer termo da PA, usamos a fórmula:
aₙ = a₁ + (n – 1) × r
- aₙ: termo que queremos descobrir;
- a₁: primeiro termo da sequência;
- r: razão da PA;
- n: posição do termo na sequência.
Exemplo: Qual o 10º termo da PA 2, 5, 8, 11…?
Sabemos que a₁ = 2, r = 3 (5 – 2) e n = 10.
a₁₀ = 2 + (10 – 1) × 3 = 2 + 9 × 3 = 2 + 27 = 29
3. Soma dos termos da PA
Para somar os termos de uma PA, usamos a fórmula:
Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)
Onde:
- Sₙ: soma dos n primeiros termos;
- a₁: primeiro termo;
- aₙ: enésimo termo;
- n: número de termos.
Outra forma, quando o último termo não é conhecido, é substituir aₙ pela fórmula do termo geral:
Sₙ = (n/2) × [2a₁ + (n – 1) × r]
4. Exemplos práticos
Exemplo 1: Somar os 5 primeiros termos da PA 4, 7, 10, 13, 16.
Usando a fórmula:
a₁ = 4, r = 3, n = 5
S₅ = (5/2) × [2×4 + (5 – 1) × 3] = (5/2) × [8 + 12] = (5/2) × 20 = 5 × 10 = 50
Exemplo 2: Calcular o 15º termo da PA que começa com 1 e tem razão -2.
a₁ = 1, r = -2, n = 15
a₁₅ = 1 + (15 – 1) × (-2) = 1 + 14 × (-2) = 1 – 28 = -27
5. Características importantes
- A razão pode ser positiva, negativa ou zero;
- Se r > 0, a sequência é crescente;
- Se r < 0, a sequência é decrescente;
- Se r = 0, todos os termos são iguais.
6. Aplicações da Progressão Aritmética
A PA aparece em várias situações do dia a dia e na matemática, como:
- Contagem de tempo, por exemplo, em escalas de horas;
- Distribuição uniforme de objetos ou valores;
- Problemas financeiros envolvendo pagamentos periódicos;
- Movimentos com velocidade constante.
7. Dicas para o ENEM
No ENEM, as questões sobre PA costumam pedir para calcular termos específicos ou a soma de termos. É importante decorar as fórmulas e praticar exercícios para identificar rapidamente o que está sendo pedido.
Leia com atenção para identificar a razão e o primeiro termo, e use as fórmulas para facilitar seus cálculos.
Conclusão
A Progressão Aritmética é um conceito fundamental da matemática que ajuda a entender sequências e padrões numéricos. Dominar suas fórmulas e aplicações facilita a resolução de muitos problemas no ENEM e em outras provas. Pratique bastante para se sentir seguro na hora da prova!
