Progressão Geométrica

Progressão Geométrica (PG)

A Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (q). Essa razão pode ser positiva, negativa, inteira, fracionária ou decimal.

Exemplo básico

Considere a sequência: 2, 4, 8, 16, 32…

Nessa sequência, cada número é obtido multiplicando o anterior por 2. Portanto, q = 2 e trata-se de uma PG.

Fórmula do termo geral da PG

Para encontrar qualquer termo de uma progressão geométrica, usamos a fórmula do termo geral:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

• aₙ: n-ésimo termo da PG
• a₁: primeiro termo da PG
• q: razão da PG
• n: posição do termo que se quer encontrar

Exemplo: Se a₁ = 3 e q = 2, então o 5º termo (a₅) é:

a₅ = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48

Classificação da PG

• Crescente: quando q > 1 e a₁ > 0 (ex.: 2, 4, 8, 16…)
• Decrescente: quando 0 < q < 1 e a₁ > 0 (ex.: 100, 50, 25, 12,5…)
• Alternante: quando q é negativo (ex.: 2, -4, 8, -16…)
• Constante: quando q = 1 (ex.: 5, 5, 5, 5…)

Soma dos termos de uma PG finita

Para somar os n primeiros termos de uma progressão geométrica (quando a razão é diferente de 1), usamos a fórmula:

Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)

Exemplo: Para a PG 2, 4, 8, 16, queremos somar os 4 primeiros termos.

S₄ = 2 × (2⁴ - 1) / (2 - 1) = 2 × (16 - 1) / 1 = 2 × 15 = 30

Soma dos termos de uma PG infinita

Quando a razão q é um número entre -1 e 1 (|q| < 1), a PG infinita possui soma finita. A fórmula é:

S = a₁ / (1 - q)

Exemplo: PG infinita com a₁ = 5 e q = 0,5:

S = 5 / (1 - 0,5) = 5 / 0,5 = 10

Aplicações da PG

• Crescimento populacional e juros compostos
• Propagação de epidemias
• Problemas com dobramento (ex.: dobra de papel, crescimento de bactérias)
• Algoritmos de computadores e criptografia

Dicas para o ENEM

• Identifique a razão (q) observando como os termos se relacionam.
• Use a fórmula do termo geral para encontrar valores de qualquer posição.
• Use a fórmula da soma para calcular resultados totais.
• Verifique se a PG é finita ou infinita, e se pode ser somada.

Resumo

• PG: sequência em que cada termo é o anterior multiplicado pela razão q.
• Fórmula do termo geral: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹
• Soma dos n termos: Sₙ = a₁ × (qⁿ – 1) / (q – 1)
• Soma da PG infinita (|q| < 1): S = a₁ / (1 – q)

Entender progressões geométricas é essencial para resolver problemas matemáticos no ENEM, especialmente em contextos envolvendo crescimento exponencial, juros e aplicações no cotidiano.