Combinação Simples

O que é Combinação Simples?

A combinação simples é um conceito da Análise Combinatória que trata da formação de grupos a partir de um conjunto de elementos, sem se importar com a ordem dos elementos escolhidos. Ou seja, quando a ordem não faz diferença, usamos a combinação simples.

Por exemplo, se temos 5 pessoas e queremos formar um grupo com 3 delas, não importa se o grupo é A-B-C ou C-B-A, pois são considerados o mesmo grupo. Nesse caso, usamos a combinação simples.

Fórmula da Combinação Simples

A fórmula para calcular a combinação simples é:

C(n, k) = n! / (k! * (n – k)!)

Onde:

n é o total de elementos disponíveis.
k é o número de elementos escolhidos.
! significa fatorial, ou seja, o produto de um número por todos os seus antecessores positivos. Exemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Exemplo 1: Selecionando alunos

Imagine que uma professora tem 10 alunos e quer formar um grupo com 4 deles para um trabalho. Quantos grupos diferentes ela pode formar?

Como a ordem dos alunos no grupo não importa, usamos a combinação simples:

C(10, 4) = 10! / (4! × (10 – 4)!) = 10! / (4! × 6!)

Calculando os fatoriais:

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6! (paramos aqui para cortar com o 6!)
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Substituindo:

C(10, 4) = (10 × 9 × 8 × 7) / 24 = 5040 / 24 = 210

Portanto, a professora pode formar 210 grupos diferentes.

Diferença entre Permutação, Arranjo e Combinação

Permutação: usa todos os elementos e a ordem importa.
Arranjo: usa parte dos elementos e a ordem importa.
Combinação: usa parte dos elementos e a ordem não importa.

Exemplo: Se vamos escolher 3 pessoas entre 5 para formar um grupo (sem ordem), usamos combinação. Se vamos formar um pódio (com ordem), usamos arranjo.

Exemplo 2: Combinando letras

Quantas combinações de 2 letras podem ser feitas a partir das letras A, B, C, D?

Temos 4 letras disponíveis e queremos escolher 2. Como a ordem não importa, usamos a combinação:

C(4, 2) = 4! / (2! × (4 – 2)!) = 4! / (2! × 2!)

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
2! = 2 × 1 = 2

C(4, 2) = 24 / (2 × 2) = 24 / 4 = 6

As combinações possíveis são: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Aplicações da Combinação Simples

A combinação simples é muito usada em situações onde queremos formar grupos ou comissões. Alguns exemplos:

Escolher representantes de turma.
Formar comissões ou duplas para trabalhos escolares.
Montar times onde a ordem dos jogadores não é relevante.
Questões de probabilidade onde a ordem não influencia no resultado.

Dica para o ENEM

No ENEM, é comum aparecerem questões de análise combinatória com situações do cotidiano. Preste atenção no enunciado para saber se a ordem importa ou não. Se não importa, é caso de combinação simples. Não confunda com arranjos ou permutações!

Resumo Final

Combinação simples: formar grupos sem se importar com a ordem.
Fórmula: C(n, k) = n! / (k! × (n – k)!)
Usada em: comissões, seleções, agrupamentos onde a ordem não altera o resultado.
Diferente de: Arranjo (ordem importa) e Permutação (usa todos os elementos).