Permutação com Elementos Repetidos

A permutação é um conceito da matemática que estuda o número de maneiras diferentes de organizar um conjunto de elementos. Quando todos os elementos são diferentes, o cálculo é simples, mas a situação muda quando alguns elementos se repetem. É nesse caso que entra a permutação com elementos repetidos.

O que é permutação?

Permutação é a quantidade de maneiras diferentes que podemos organizar um grupo de elementos, considerando a ordem. Por exemplo, para as letras A, B e C, as permutações são:

Ou seja, 6 maneiras diferentes, que correspondem a 3! (3 fatorial), pois temos 3 elementos distintos.

Quando há elementos repetidos

Se houver elementos repetidos, o número de permutações diminui, porque trocar a posição dos elementos iguais não gera uma nova permutação. Por exemplo, considere as letras A, A e B. Vamos ver as possíveis ordens:

Temos apenas 3 permutações diferentes, e não 6, como seria se todos os elementos fossem diferentes.

Fórmula da permutação com elementos repetidos

Para calcular o número de permutações quando há repetições, usamos a fórmula:

P = \(\dfrac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots \times n_k!}\)

Onde:

n = número total de elementos;
n₁, n₂, …, nₖ = quantidade de elementos repetidos de cada tipo;
! indica o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número (ex: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24).

Exemplo prático

Quantas palavras diferentes podem ser formadas com as letras da palavra “BANANA”?

A palavra BANANA tem 6 letras no total, com repetições:

A aparece 3 vezes;
N aparece 2 vezes;
B aparece 1 vez.

Aplicando a fórmula:

\(P = \dfrac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \dfrac{720}{6 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{12} = 60\)

Ou seja, é possível formar 60 palavras diferentes com as letras da palavra BANANA.

Quando usar a permutação com elementos repetidos

Quando você precisa contar todas as formas diferentes de organizar elementos;
Quando a ordem importa;
Quando há elementos iguais que não geram novas permutações ao serem trocados de lugar.

Importância para o ENEM

Problemas de permutação com elementos repetidos aparecem frequentemente no ENEM, principalmente em questões de contagem e probabilidade. Saber aplicar essa fórmula ajuda a resolver rapidamente problemas que envolvem organização e arranjo de elementos, fundamental para uma boa nota em matemática.

Dicas para resolver questões

Identifique o número total de elementos (n);
Conte quantos elementos iguais existem;
Use a fórmula da permutação com elementos repetidos;
Calcule os fatoriais corretamente para evitar erros;
Revise conceitos de fatorial para facilitar o cálculo.

Resumo Final

A permutação com elementos repetidos é uma técnica matemática usada para calcular quantas formas diferentes é possível organizar um conjunto que contém elementos iguais. A fórmula divide o fatorial do total de elementos pelos fatoriais das quantidades dos elementos repetidos, evitando contar arranjos idênticos mais de uma vez. Esse conceito é muito útil em contagem, probabilidade e aparece frequentemente no ENEM.